如果一個(gè)數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比值(例如，1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等)，那么它就是有理數(shù)。否則，它就是非理性的。
當(dāng)你聽到“理性”和“非理性”這兩個(gè)詞時(shí)，你可能會(huì)想到冷靜、善于分析的電視劇《星際迷航》里的斯波克先生(Mr. Spock)和電視劇《識(shí)骨尋蹤》里頭腦冷靜、情緒多變的斯波克博士(Dr. Spock)之間的區(qū)別。除非你是數(shù)學(xué)家，否則你可能不會(huì)想到整數(shù)與平方根的比值，這種東西會(huì)讓我們當(dāng)中的非數(shù)學(xué)家感到困惑，就像我們聽到女王用克林貢語演唱的《波西米亞狂想曲》一樣。
但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，詞匯有時(shí)有特定的含義，與日常用法非常不同，有理數(shù)和無理數(shù)之間的區(qū)別，與推理、邏輯以及原始的情感沖動(dòng)沒有任何關(guān)系。
記住“比率”這個(gè)詞
埃里克·D·柯拉齊克（Eric D. Kolaczyk）解釋道：“在記住有理數(shù)和無理數(shù)之間的區(qū)別時(shí)，想想一個(gè)詞：比率?！彼遣ㄊ款D大學(xué)數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)系的教授，也是該大學(xué)Rafik B. Hariri計(jì)算和計(jì)算科學(xué)與工程研究所的主任。
柯拉齊克說：“如果你能把一個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)整數(shù)的比率(例如，1 / 10、-5 / 23、1543 / 10等等)，那么我們就把它歸為有理數(shù)。否則，我們就說這是無理數(shù)?！?/p>
你可以將一個(gè)整數(shù)或一個(gè)分?jǐn)?shù)(整數(shù)的一部分)表示為一個(gè)比率，用一個(gè)稱為分子的整數(shù)加上另一個(gè)稱為分母的整數(shù)。把分母除以分子。這可以給你一個(gè)數(shù)字，比如1/4或500/10(也就是50)。
與有理數(shù)相比，無理數(shù)是相當(dāng)復(fù)雜的。正如數(shù)學(xué)世界網(wǎng)站（Wolfram MathWorld）解釋的那樣，它們不能用分?jǐn)?shù)來表示，當(dāng)你試圖把它們寫成一個(gè)有小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字時(shí)，這些數(shù)字就會(huì)一直持續(xù)下去，沒有任何停止或重復(fù)的模式。
那么，什么樣的數(shù)字會(huì)表現(xiàn)得如此瘋狂呢？基本上，那些描述復(fù)雜事物的。也許最著名的無理數(shù)是π，希臘字母p，表示圓周長與圓直徑之比。正如數(shù)學(xué)家斯蒂文·波卡特（Steven Bogart）在1999年《科學(xué)美國人》的一篇文章中解釋的那樣，無論圓有多大，比值總是等于圓周率。自從大約4000年前巴比倫的數(shù)學(xué)家們開始嘗試計(jì)算圓周率以來，一代又一代的數(shù)學(xué)家們一直孜孜不輟，創(chuàng)造出了越來越長的不重復(fù)模式的小數(shù)串。2019年，谷歌研究人員?，敗す炖ぐ郑‥mma Hakura Iwao）成功地將圓周率擴(kuò)展到31415926535897位或者31.4萬億個(gè)小數(shù)位，這比之前最高紀(jì)錄高出9萬億位數(shù)。
有時(shí)，一個(gè)平方根，也就是一個(gè)數(shù)的一個(gè)因數(shù)，當(dāng)它與自己相乘時(shí)，得到的是一個(gè)數(shù)，它是無理數(shù)，除非它是一個(gè)完全平方的整數(shù)，比如416的平方根。其中一個(gè)最明顯的例子是√2，結(jié)果是1.414加上一個(gè)無限的非循環(huán)數(shù)字串。這個(gè)值對應(yīng)于正方形對角線的長度，這是古希臘人在勾股定理中最先描述的。
為什么我們要用“理性”和“非理性”這兩個(gè)詞?
為什么我們稱它們?yōu)槔硇院头抢硇?？這似乎有點(diǎn)模糊?？吕R克說：“我們確實(shí)通常用‘理性’來表示基于理性或類似的東西。”根據(jù)《牛津英語詞典》，這個(gè)詞在數(shù)學(xué)中的使用似乎早在13世紀(jì)的英國文獻(xiàn)中就出現(xiàn)了。如果你把‘理性’和‘比例’都追溯到它們的拉丁詞根，你會(huì)發(fā)現(xiàn)廣義上來說，這兩個(gè)詞根都與‘推理’有關(guān)?！?/p>
更清楚的是，理數(shù)和無理數(shù)在文明的進(jìn)步中都扮演了重要的角色。馬克·澤加雷利(Mark Zegarelli)是一名數(shù)學(xué)老師，寫了10本《傻瓜們》系列叢書，他解釋說：“雖然語言可能可以追溯到人類的起源，但數(shù)字的出現(xiàn)要晚得多。采獵者可能不需要太多的數(shù)字精度，只需要粗略估計(jì)和比較數(shù)量的能力?！?/p>
澤加雷利說：“他們需要像‘我們沒有蘋果了’這樣的概念，他們不需要知道，‘我們正好有152個(gè)蘋果。’”
但是，當(dāng)人類開始開辟土地來創(chuàng)建農(nóng)場、建造城市、制造和交易商品，遠(yuǎn)離他們的家園時(shí)，他們需要一個(gè)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)。
柯拉齊克說：“假設(shè)你建了一所屋頂，其高度與從底部到最高點(diǎn)的距離相等。屋頂表面從頂部到外緣的延伸有多長？上升(橫移)總是√2的因數(shù)。這也是一個(gè)無理數(shù)。”
洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室信息系統(tǒng)和建模組的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家嘉莉·馬諾爾（Carrie Manore）說：“在技術(shù)先進(jìn)的21世紀(jì)，無理數(shù)繼續(xù)發(fā)揮著關(guān)鍵作用?！?/p>
馬諾爾表示：“π顯然是第一個(gè)不合理的數(shù)字，我們需要它來確定圓的面積和周長。它對計(jì)算角度至關(guān)重要，而角度對導(dǎo)航、建筑、測量、工程等都至關(guān)重要。無線電頻率通信依賴于包含圓周率的正弦和余弦此外，無理數(shù)在復(fù)雜的數(shù)學(xué)中扮演著關(guān)鍵角色，使高頻股票交易、建模、預(yù)測和大多數(shù)統(tǒng)計(jì)分析成為可能，所有這些活動(dòng)使我們的社會(huì)保持活躍?！?/p>
這樣的例子不勝枚舉。馬諾爾談到：“事實(shí)上，在現(xiàn)代社會(huì)，我們幾乎可以反過來問，無理數(shù)在哪里沒有被使用？”